随机过程的基本知识。
随机过程的定义
随机过程：一族随机变量。
样本轨道：将随机过程$X={X_t(\omega):t\in T}$中的时间确定为一个固定值，则对应的函数为随机过程的一条样本轨道。
随机过程的等价与无区别
等价：对于任意的t,$P(X_t=Y_t)=1$。 无区别：对于任意的t，满足$P(X_t=Y_t), \quad \forall t \in T$
随机过程的分类
按照指标集合和状态空间来分，随机过程可以分成离散时间离散状态随机过程、离散时间连续状态随机过程、连续时间离散状态随机过程、连续时间连续状态随机过程。
如果按照平稳性，可以分成严平稳、宽平稳、非平稳。
正交增量过程
如果对于任意时间，$E[(X_{t_3}-X_{t_2})(X_{t_2}-X_{T_1})]=0$，则称$X$为正交增量过程。
随机过程的数字特征
分布函数
设$X={X_t:t\in T}$是定义在概率空间上取实值的随机过程，取n个不同的时间指标$t_1,\dots,t_n \in T$和n个实数$x_1,\dots x_n \in R $，则称n维随机变量$(X_{t_1},\dots,X_{t_n})$的联合分布函数 \(F_{t_1,\dots,t_n}(x_1,\dots,x_n) = P(X_{t_1}\leq x_1,\dots,X_{t_n}\leq x_n)\) 为随机过程X的n维分布函数。
随机过程的独立性
设$X={X_t:t\in T}$和$Y={Y_t:t \in T}$是定义在同一个概率空间$(\Omega,\mathbb{F},P)$上的两个取实值的随机过程，对于任意自然数$m,n\geq 1$,$m+n$个不同的时间指标$t_1,\dots,t_m,s_1,…s_n,s_n\in T$以及m+n个实数$x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n \in R$，如果成立 \(P(X_{t_1}\leq x_1,\dots,X_{t_m}\leq x_m, Y_{s_1}\leq y_1,...,Y_{s_n}\leq y_n)=F^X_{t_1,\dots,t_m}(x_1,\dots,x_m)F^Y_{s_1,\dots,s_n}(y_1,\dots,y_n)\) 则称X与Y相互独立。
表示数学特征的若干函数
均值函数
\[m_x(t)= E[X_t]\]相关函数
\[R_X(s,t)= E[X_t X_s]\]方差函数
\[D_X(t)= R_X(t,t)- |m_X(t)|^2\]协方差函数
\[C_X(s,t)=R_X(s,t)-m_X(s)m_X(t)\]柯西施瓦兹不等式
其实就是两个随机变量乘积的期望的平方永远小于各自平方的期望的乘积。
\[|E[XY]|^2 \leq E[|X|^2]E[|Y|^2]\]